Matematický proseminář – zimní semestr

Obsah semináře

  • Funkce – definice a vlastnosti elementárních funkcí, grafy funkcí.
  • Řešení rovnic – metody řešení algebraických, exponenciálních, logaritmických a goniometrických rovnic.
  • Komplexní čísla – algebraický a goniometrický tvar, aritmetické operace, rovnice.
  • Kombinatorika.
  • Jazyk matematiky – formulace definic, axiomů, vět, důkazů, typy důkazů, důkazové techniky.
  • Zajímavé příklady.

Požadavky pro udělení zápočtu:

  • Účast na seminářích, povoleny jsou nejvýše tři absence. V odůvodněných případech lze absenci nahradit vypracováním domácí práce.
  • Aktivní účast nebo (viz složené výroky) napsání závěrečné písemné práce s úspěšností alespoň 60 %. Písemná práce proběhne v jednom řádném a jednom náhradním termínu. Termíny písemných prací stanoví vyučující příslušné paralelky alespoň 14 dní předem. Specifikace aktivní účasti:
    • aktivně se účastnit diskuzí během semináře
    • v rámci možností aktivně vystupovat u tabule před ostatními
    • do začátku zápočtového týdne dodat alespoň dva KoncepTesty na zvolené (libovolné) matematické téma. KoncepTest je (viz například článek Metoda Peer Instruction ve výuce geometrie ve sborníku Cesty k matematice 2018):
      • otázka, která je založena na porozumění jedinému konceptu,
      • otázka, na niž lze odpovědět na základě porozumění – nikoli pouze paměti
      • otázka s nabídkou přiměřeného množství odpovědí,
      • otázka, která je formulována jednoznačně,
      • otázka s přiměřenou obtížností.
    • článek obsahující KoncepTesty na VŠ úrovni
    • do začátku zápočtového týdne dodat alespoň jednu zajímavou úlohu na libovolné z témat v sylabu předmětu společně se zdůvodněním, čím je tato úloha zajímavá (obdoba řeckého výpočtu poloměru Země).

Obsah proběhlých seminářů (úterní skupina):

  • 02. 10. 2018: Eratosthénovo měření rozměrů Země jako vzor zajímavé úlohy [zdroj: Krocení nekonečna]; komentáře k požadavkům pro zápočet; porozumění vs “vzorečkovaná” a základní geometrické pojmy; naivní vs axiomatická teorie, paradox vojenského holiče/Russellův paradox, Peanova aritmetika a důkaz matematickou indukcí, příklady na důkaz matematickou indukcí.
  • 09. 10. 2018: Důkaz matematickou indukcí – procvičování (platnost součtových vzorců; korektnost vzorce pro n-tý člen při daném rekurentním určení posloupnosti; dělitelnost; nerovnosti). Vlastnosti kombinačních čísel a zajímavé vlastnosti Pascalova trojúhelníku. Vztah pro počet podmnožin množiny o n prvcích společně s důkazem matematickou indukcí. Monotonie funkce. Přímý důkaz. V rámci domácího cvičení se, krom úloh zadaných na semináři, pokuste přímo dokázat neřešitelnost úlohy O vepřích:

    Nějaký člověk měl 300 vepřů a nařídil je porazit ve třech dnech tak, aby každý den byl poražen lichý počet vepřů. Má říci, kdo může, jak lze porazit takovým způsobem 300 vepřů ve třech dnech

    [Úlohy k bystření mladíků].

  • 16. 10. 2018: Základní vlastnosti kombinačních pozorovatelné v Pascalově trojúhelníku spolu s důkazem. Důkaz sporem, aneb všechna čísla jsou zajímavá [Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta] a prvočísel je nekonečně mnoho. Dokazování základních vlastností funkcí a posloupností přímo či sporem, speciálně pak důkaz konvergence posloupnosti k dané hodnotě. Na závěr semináře nastíněn princip korespondence a přihrádkový princip v kontextu populárních úloh (bude dovysvětleno na příštím semináři). “Závodové úlohy”.
  • 23. 10. 2018: Důkaz omezenosti a “neprostosti” konkrétní kvadratické funkce. Naivní pojetí množin a množinové operace. Vennovy diagramy a slovní úlohy k nim vedoucí. (Příklady ze semináře: MATPROUT_množiny.)
  • 30. 10. 2018: Seminář neproběhl z důvodu imatrikulace prvních ročníků.
  • 06. 11. 2018: Seminář neproběhl z důvodu děkanského sportovního dne.
  • 13. 11. 2018: Kartézský součin, relace a vlastnosti relací. 
  • 20. 11. 2018: Relace a skládání relací; Posloupnosti a jejich limity. Příklady ze semináře.
  • 27. 11. 2018: Zobrazení, speciálně pak reálná funkce reálné proměnné. Příklady ze semináře (chybějící přírodovědci samostatně vypracují veškeré úlohy v sekci: Zobrazení, speciálně pak reálná funkce reálné proměnné). Vysvětlení řešení grafu složené funkce \tan x^2
  • 04. 12. 2018: Goniometrie a trigonometrie. Příklady.
  • 11. a 18. 12. 2018: Komplexní čísla, jejich algebraický, exponenciální a goniometrický tvar. Početní operace s komplexními čísly. Rovnice v komplexním oboru. Příklady. 
  • 10. 01. 2019: Rovnice nad reálnými i komplexními čísly. Prezentace zápočtových úloh.

Obsah proběhlých seminářů (čtvrteční skupina):

  • 04. 10. 2018: Eratosthénovo měření rozměrů Země jako vzor zajímavé úlohy [zdroj: Krocení nekonečna]; komentáře k požadavkům pro zápočet; porozumění vs “vzorečkovaná” a základní geometrické pojmy; naivní vs axiomatická teorie, paradox vojenského holiče/Russellův paradox, Peanova aritmetika a důkaz matematickou indukcí, příklady na důkaz matematickou indukcí.
  • 09. 10. 2018: Důkaz matematickou indukcí – procvičování (platnost součtových vzorců; korektnost vzorce pro n-tý člen při daném rekurentním určení posloupnosti; dělitelnost; nerovnosti). Vlastnosti kombinačních čísel a zajímavé vlastnosti Pascalova trojúhelníku. Vztah pro počet podmnožin množiny o n prvcích společně s důkazem matematickou indukcí. Monotonie funkce. Přímý důkaz. V rámci domácího cvičení se, krom úloh zadaných na semináři, pokuste přímo dokázat neřešitelnost úlohy O vepřích:

    Nějaký člověk měl 300 vepřů a nařídil je porazit ve třech dnech tak, aby každý den byl poražen lichý počet vepřů. Má říci, kdo může, jak lze porazit takovým způsobem 300 vepřů ve třech dnech

    [Úlohy k bystření mladíků].

  • 16. 10. 2018: Základní vlastnosti kombinačních pozorovatelné v Pascalově trojúhelníku spolu s důkazem. Důkaz sporem, aneb všechna čísla jsou zajímavá [Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta] a prvočísel je nekonečně mnoho. Dokazování základních vlastností funkcí a posloupností přímo či sporem, speciálně pak důkaz konvergence posloupnosti k dané hodnotě. Na závěr semináře nastíněn princip korespondence a přihrádkový princip v kontextu populárních úloh (bude dovysvětleno na příštím semináři). “Úlohy řešené na konci hodiny řešené skrze SOCRATIVE”. Úlohy k rozmyšlení do příštího semináře: Vlastnosti funkcí – procvičování.
  • 25. 10. 2018: dokazování vlastností funkcí a posloupností. Kombinatorický součin. Kombinace, variace a vztah mezi nimi. Permutace. Skupiny s opakováním a odvození vztahů pro jejich počty. (MATPROCT_Kombinatorika)
  • 01. 11. 2019: MATPROCT_MNOZINY. Naivní pojetí množin. Množiny za pomoci charakteristické vlastnosti. Mohutnost množin. Množinové operace. Vennovy diagramy a Vennovy diagramy při řešení slovních úloh. Aktuální VS potenciální nekonečno (příspěvek o této problematice – berte s rezervou). Spočetné množiny a Hilbertův hotel.
  • 08. 11. 2018: Rovnice a způsoby jejich řešení – proběhne formou domácího studia (viz minulý seminář).
  • 15. 11. 2018: Rovnice a způsoby jejich řešení – komentář k úlohám z předchozího (samostudijního) semináře. Kartézský součin, relace a vlastnosti relací. Řešení KoncepTestu o integrálu (pro chvilkový výpadek instruktora…)
  • 22. 11. 2018: Rovnice všeho druhu a způsoby jejich řešení. Posloupnosti a jejich limity.
  • 29. 11. 2018: Úlohy, kterými se můžeme zabývat. Konceptuální porozumění v matematice ilustrované na úlohách pracujících s Pythagorovou větou.
  • 06. 12. 2018: Goniometrie a trigonometrie. Příklady.
  • 13. a 20. 12. 2018: Komplexní čísla, jejich algebraický, exponenciální a goniometrický tvar. Početní operace s komplexními čísly. Rovnice v komplexním oboru. Příklady.
  • 3. 1. 2019: Úvod do počtářských dovedností starých Egypťanů (vyjádření přirozených čísel a kmenných zlomků, sčítání, odčítání, půlení a zdvojování + souvislost s binární soustavou). Hornerovo schéma. Reciproké polynomy. Odmocniny a rovnice v komplexním oboru.
  • 10. 01. 2019: Zajímavé úlohy z korespondenčního semináře Pikomat. Prezentace zápočtových úloh.

Doporučená literatura: